சுருக்கம் (TL;DR)
ஒரு மில்லியன் (பத்து லட்சம்) நொடிகள் என்பது சுமார் 11.6 நாட்கள். ஒரு பில்லியன் (நூறு கோடி) நொடிகள் என்பது சுமார் 31.7 ஆண்டுகள். காகிதத்தில் இந்த வேறுபாடு வெறும் மூன்று பூஜ்ஜியங்கள் மட்டுமே; ஆனால் வாழ்ந்த காலத்தில் அது அடுத்த வாரத்திற்கும் மனித வாழ்நாளின் பெரும்பகுதிக்கும் இடையிலான இடைவெளியாகும். மனிதர்கள் இயல்பாகவே கணிதத்தில் பலவீனமானவர்கள் என்பதற்கு இது சான்றல்ல. எண்களை மதிப்பிடுவதில் மனித மனம் சில குறிப்பிட்ட வழிகளில் தடுமாறுகிறது: பெரிய அளவுகள் தமக்கே உரிய தனித்துவமான ஆழத்தை இழக்கின்றன; அடுக்குக்குறி வளர்ச்சி (exponential change) நேரியல் வளர்ச்சியாகத் தவறாகப் புரிந்துகொள்ளப்படுகிறது; நிபந்தனைக்குட்பட்ட நிகழ்தகவுகள் அவற்றின் மூலப் பகுதியினை (denominators) மறைக்கின்றன. ஆனால் அவற்றை வெளிப்படுத்தும் வடிவம் மாறும்போது இந்தச் சிக்கல்கள் தீர்கின்றன. மொத்த மதிப்புகளைக் கால அளவாகவோ அல்லது தனிநபர் அலகுகளாகவோ மாற்றுங்கள்; கூட்டு வளர்ச்சியை இரட்டிப்பாகும் படிகளாகக் காட்டுங்கள்; இடர்பாடுகளை ஒரே பொதுவான குழுவிலிருந்து எழும் இயல்பான நிகழ்வெண்களாக (natural frequencies) விவரியுங்கள். எண்களைப் புரிந்து கொள்வது என்பது இலக்கங்களை உற்றுப் பார்ப்பது அல்ல; மாறாக ஒப்பீட்டைத் தெளிவாகக் காணக்கூடிய ஒரு வடிவத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதாகும்.
மடக்கை அளவுகோல்களில் (logarithmic scales) உள்ள தூரங்களைக் கூட்டுவதன் மூலம் ஒரு கணக்கீட்டு நழுவு கோல் (slide rule) பெருக்கலைச் செய்கிறது. சிறந்த எண் தொடர்பாடலும் இதேபோன்ற ஒன்றைச் செய்கிறது: கடினமான ஒரு தொடர்பைக் கண்கூடாகப் பார்க்கக்கூடிய வகையில் அது வெளிப்பாட்டு வடிவத்தை மாற்றுகிறது. விளக்கம்: பியர்சன் ஸ்காட் ஃபார்ஸ்மேன், பொதுக்களம்.1
முப்பத்தியொரு ஆண்டுகளைத் தன்னுள் அடக்கிய மூன்று பூஜ்ஜியங்கள்
கணக்கீட்டை நிதானமாகச் செய்து பாருங்கள்.
ஒரு நாளில் 86,400 நொடிகள் உள்ளன. பத்து லட்சம் (ஒரு மில்லியன்) நொடிகள் என்பது 11 நாட்கள், 13 மணிநேரம், 46 நிமிடங்கள் மற்றும் 40 நொடிகள் ஆகும்.
நூறு கோடி (ஒரு பில்லியன்) நொடிகள் என்பது ஆயிரம் மில்லியன் நொடிகள்: அதாவது சுமார் 11,574 நாட்கள், அல்லது 31.7 ஆண்டுகள்.
ஒரு பில்லியன் என்பது ஆயிரம் மில்லியன்கள் என்பது பெரும்பாலான மக்களுக்குத் தெரியும். ஆனால் அந்த வாக்கியம் ஒருபோதும் நேர ஒப்பீடு தரும் அதே அளவிலான புரிதலை ஏற்படுத்துவதில்லை. “மில்லியன்” மற்றும் “பில்லியன்” என்பவை ஒரே வாய்மொழி வகையைச் சேர்ந்தவை—மிகப் பெரிய எண்கள்—மேலும் அவை ஒரே ஒரு எழுத்திலும் மூன்று பூஜ்ஜியங்களிலுமே வேறுபடுகின்றன. ஆனால் பதினொரு நாட்களும் முப்பத்திரண்டு ஆண்டுகளும் மனித அனுபவத்தின் முற்றிலும் மாறுபட்ட உலகங்களைச் சேர்ந்தவை.
இந்த மொழிபெயர்ப்பு புதிய தகவலை எதுவும் சேர்க்கவில்லை. ஏற்கனவே உள்ள தகவலை மனித அறிவாற்றலுக்கு எளிதில் கிடைக்கக்கூடியதாக மாற்றுகிறது.
பொதுவெளியில் புள்ளிவிவரங்கள் எதிர்கொள்ளும் மையச் சிக்கல் இதுவே. வரவு செலவுத் திட்டங்கள், தனிநபர் செல்வம், தொற்றுநோய் வளர்ச்சி, வட்டி விகிதங்கள், மருத்துவ இடர்பாடுகள் மற்றும் பருவநிலை கால அளவுகள் ஆகியவை பெரும்பாலும் தொழில்நுட்ப ரீதியாகச் சரியான வடிவங்களில் வழங்கப்படுகின்றன, ஆனால் அவை ஒப்பீட்டைச் சாத்தியமற்றதாக்குகின்றன. பின்னர் மக்கள் கணித அறிவற்றவர்கள் என்று நாம் எளிதாகப் பழிசுமத்துகிறோம்.
சில நேரங்களில் மக்களுக்குக் கணித அறிவு குறைவாக இருக்கலாம். ஆனால் பெரும்பாலான நேரங்களில், அந்தத் தகவல்கள் முன்வைக்கப்படும் முறையே சிந்திக்கும் திறனுக்குத் தேவையற்ற தடையாக அமைகிறது.
பெரிய அளவுகள் தமக்கே உரிய ஆழத்தை இழக்கின்றன
மனிதனின் எண் அறிவாற்றல் என்பது ஒரே ஒரு இயங்குமுறை அல்ல. நம்மிடம் தோராயமான அளவு உணர்வு, கற்றறிந்த குறியீட்டு கணிதம், வாய்மொழி வகைகள் மற்றும் வெளிப்புறக் கருவிகள் உள்ளன. இந்த அமைப்புகள் ஒவ்வொன்றும் வெவ்வேறு விதமாகச் செயல்படுகின்றன.
சிறு குழந்தைகள் பெரும்பாலும் குறியீட்டு எண்களை ஒரு குறிப்பிட்ட நேர்க்கோட்டில் தோராயமான மடக்கை முறையில் (logarithmic pattern) சுருக்கி வைக்கிறார்கள்: சிறிய மதிப்புகளுக்கு அதிக இடமும் பெரிய மதிப்புகள் ஒன்றுடன் ஒன்று நெருக்கமாகவும் வைக்கப்படுகின்றன. கல்வியும் பயிற்சியும் வளர வளர, பெரியவர்கள் தங்களுக்குப் பழக்கமான எண்களுக்கு மிகவும் நேரியல் (linear) முறையைக் கையாள்கிறார்கள்.2 அந்த நிபந்தனை முக்கியமானது. எல்லாப் பெரியவர்களும் தங்கள் மனதில் அனைத்து எண்களையும் ஒரு மடக்கை அளவுகோலிலேயே வைத்திருக்கிறார்கள் என்று சொல்வது தவறானது.
ஆயினும், அன்றாட அனுபவத்திற்குப் பழக்கமில்லாத பெரிய எண்கள் பொதுவான மதிப்பீட்டில் இன்னும் ஒன்றாகவே குவிகின்றன. ஒரு ₹1,000 கோடி திட்டமும் ₹10,000 கோடி திட்டமும் இரண்டுமே மக்களுக்கு “அரசாங்க அளவிலான பெருந்தொகை” என்றே பதிகின்றன. பத்தாயிரம் உயிரிழப்புகளும் பத்து லட்சம் உயிரிழப்புகளும் இரண்டுமே “கற்பனை செய்ய முடியாத பேரழிவு எண்” என்றே மாறுகின்றன. அளவுகள் அன்றாட அனுபவத்தை விட்டு விலகிச் செல்லும்போது, உள்ளுணர்வு தூரத்தை அளவிட முடியாத இடங்களில் மொழி பொதுவான வகைகளை மட்டுமே மாற்றாக அளிக்கிறது.
இதற்கான தீர்வு எண்களை எப்போதுமே சிறியதாக மாற்றுவது அல்ல. மாறாகப் பொதுவான ஓர் அலகை வழங்குவதாகும்.
- காலம்: பத்து லட்சம் நொடிகள் vs நூறு கோடி நொடிகள்.
- தனிநபர் விகிதம்: ஒரு தேசியத் திட்டத்தின் மொத்தச் செலவை அதனால் பயன்பெறும் மக்கள்தொகையால் வகுத்துக் காட்டுவது.
- ஆண்டுக்கு அல்லது நாளுக்கு: வாழ்நாள் முழுமைக்குமான தொகையை அன்றாட விகிதமாக மாற்றுவது.
- இயற்பியல் பரப்பு: ஹெக்டேர் அளவுகளை மக்கள் அறிந்த ஒரு நகரம் அல்லது சாலையின் நீளமாக மாற்றுவது.
- பொருத்தமான பகுதியின் பங்கு: வெறும் கோடி ரூபாய் புள்ளிவிவரமாக இல்லாமல், மொத்த பட்ஜெட்டில் அது எத்தனை சதவீதம் என்பதைக் காட்டுவது.
ஒவ்வொரு மொழிபெயர்ப்பும் திசைதிருப்பவும் கூடும். தனிநபர் சராசரிகள் பகிர்வு சமத்துவமின்மையை மறைக்கின்றன; உவமைகள் உணர்ச்சிபூர்வமான சார்புகளை உள்ளே கொண்டுவருகின்றன; சதவீதங்கள் அடிப்படைத் தொகையின் உண்மையான அளவை மறைக்கின்றன. எனவே மூல எண்ணையும் அதன் மொழிபெயர்க்கப்பட்ட வடிவத்தையும் ஒன்றாகச் சேர்த்து வைப்பதே உண்மையான நெறியாகும்.
அடுக்குக்குறி வளர்ச்சி நேரியல் வளர்ச்சியல்ல
இரண்டாவது பிரச்சினை அளவைப் பற்றியது அல்ல; அதன் வடிவத்தைப் பற்றியது.
ஒரு விஷயம் ஆண்டுதோறும் 10 சதவீதம் வளர்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். மனித உள்ளுணர்வு ஒவ்வொரு முறையும் பத்தைக் கூட்டவே விரும்புகிறது: 100, 110, 120, 130. ஆனால் கூட்டு வளர்ச்சி என்பது பெருக்குகிறது: 100, 110, 121, 133.1. இந்த வேறுபாடு ஆரம்பத்தில் சிறியதாகத் தோன்றினாலும், போகப் போக அசுர ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது.
அடுக்குக்குறி செயல்பாடுகளை நேரியல் முறையில் கற்பனை செய்யும் போக்கை பொருளாதார வல்லுநர்கள் அடுக்குக்குறி வளர்ச்சி சார்பு (exponential growth bias) என்று அழைக்கிறார்கள். குடும்ப நிதித் தரவுகளில், இந்தச் சார்பு அதிகம் கொண்ட குடும்பங்கள் அதிகமாகக் கடன் வாங்கின, குறைவாகச் சேமித்தன, குறுகிய காலக் கடன்களை விரும்பின, மற்றும் நிதி ஆலோசனைகளைப் பயன்படுத்தி அதிகப் பயனடைந்தன.3
இதன் பொருள் ஒரே ஒரு அறிவாற்றல் பிழை மட்டுமே அனைவரது நிதியையும் தீர்மானிக்கிறது என்பதல்ல. வருடாந்திர சதவீத விகிதங்கள் ஏன் மனித உள்ளுணர்வுக்குப் புரியாத ஒன்றாக இருக்கின்றன என்பதையே இது காட்டுகிறது. ஒரு கடன் வாங்குபவர் மாதாந்திரத் தவணைகளை ஒப்பிட்டுப் பார்க்கும்போது, காலத்திற்குள் புதைந்துள்ள பெருக்கல் விதியைக் கவனிக்கத் தவறுகிறார். ஒரு சேமிப்பாளர் நல்ல வட்டி விகிதத்தை அடையாளம் காணும்போது, பல தசாப்தங்களாகத் தொடரும் கூட்டு வளர்ச்சி எதைச் சாதிக்கும் என்பதை மிகக் குறைவாக மதிப்பிடுகிறார்.
இதே பிரச்சினை கோவிட்-19 பெருந்தொற்றின் போதும் தோன்றியது. ஆரம்பகால வைரஸ் பரவலை மக்கள் பெரும்பாலும் நேரியல் அடிப்படையில் புரிந்து கொண்டதை மூன்று தொடர் ஆய்வுகளில் ஆராய்ச்சியாளர்கள் கண்டறிந்தனர். அந்த வளர்ச்சி செயல்முறையை வெளிப்படையாக விளக்கிய ஒரு சிறிய குறுக்கீடு, மக்களின் பிழையைக் குறைத்ததுடன் பொதுவெளியில் சமூக இடைவெளிக்கான ஆதரவையும் அதிகரித்தது.4
நிஜமான பெருந்தொற்றுகள் எப்போதும் முடிவில்லாமல் பெருகுவதில்லை; மக்களின் நடத்தை மாறுகிறது, நோய் எதிர்ப்புச் சக்தி குவிகிறது, பாதிக்கப்படக்கூடிய மக்கள் தொகை வரம்பிற்குட்பட்டது. இந்த பாடம் கணிப்பு பற்றியது அல்ல; வெளிப்படுத்தும் வடிவம் பற்றியது. ஒரு செயல்முறை கூட்டு வளர்ச்சியடையும் போது, அதன் இடைப்பட்ட படிகளையும், இரட்டிப்பாகும் காலத்தையும், எந்த நிபந்தனைகளின் கீழ் அந்த வளைவு குறையும் என்பதையும் வெளிப்படையாகக் காட்டுங்கள்.
“ஆண்டுக்கு ஏழு சதவீதம்” என்பது ஒரு விகிதம். “தொடர்ந்தால் சுமார் பத்து ஆண்டுகளில் இரட்டிப்பாகும்” என்பது மனம் தெளிவாக ஆய்வு செய்யக்கூடிய ஒரு மாதிரி.
நிகழ்தகவுகள் அவற்றின் மூலப் பகுதிகளை மறைக்கின்றன
மூன்றாவது பிரச்சினை அனைத்து எண்களும் சிறியதாக இருக்கும்போதும் கூடத் தோன்றுகிறது.
ஒரு மக்கள்தொகையில் 1 சதவீதம் பேரைப் பாதிக்கும் ஒரு நோயைக் கற்பனை செய்து பாருங்கள். ஒரு மருத்துவப் பரிசோதனை 90 சதவீத நோயாளிகளைச் சரியாகக் கண்டறிகிறது; அதே சமயம் ஆரோக்கியமானவர்களில் 9 சதவீதம் பேருக்குத் தவறாகப் பாசிட்டிவ் (false positive) முடிவைக் காட்டுகிறது. ஒருவருக்குப் பரிசோதனையில் பாசிட்டிவ் வந்தால், அவருக்கு உண்மையில் அந்த நோய் இருப்பதற்கான வாய்ப்பு என்ன?
சதவீதங்கள் இயற்கணிதத்தைக் கோருகின்றன, மேலும் ஒரு பொதுவான தவறான விடை கிடைக்கிறது: 90 சதவீதம். இப்போது அந்த எண்களை 1,000 பேராக மாற்றிப் பாருங்கள்.
- சுமார் 10 பேருக்கு நோய் உள்ளது; அவர்களில் 9 பேருக்குப் பாசிட்டிவ் முடிவு வருகிறது.
- சுமார் 990 பேருக்கு நோய் இல்லை; அவர்களில் சுமார் 89 பேருக்குத் தவறாகப் பாசிட்டிவ் முடிவு வருகிறது.
- எனவே மொத்தம் 98 பேருக்குப் பாசிட்டிவ் முடிவு வந்துள்ளது, அவர்களில் 9 பேருக்கு மட்டுமே உண்மையில் நோய் உள்ளது.
விடை 90 சதவீதம் அல்ல; சுமார் 9 சதவீதம் மட்டுமே.
இந்த வடிவம் இயல்பான நிகழ்வெண்கள் (natural frequencies) என்று அழைக்கப்படுகிறது. மருத்துவ மாணவர்களிடம் நடத்தப்பட்ட ஆய்வுகளில், தகவல்கள் நிகழ்தகவுகளாகக் கொடுக்கப்பட்டபோது சரியான பேய்சியன் அனுமானங்கள் (Bayesian inferences) வெறும் 7 சதவீதமாக மட்டுமே இருந்தன; ஆனால் அதே தகவல்கள் இயல்பான நிகழ்வெண்களாகக் கொடுக்கப்பட்டபோது அது 45 சதவீதமாக உயர்ந்தது—அதாவது 37 சதவீதப் புள்ளிகள் முன்னேற்றம்.5
அடிப்படைக் கூற்றுகளில் எதுவும் மாறவில்லை. நிகழ்வெண் வடிவம் சம்பந்தப்பட்ட துணைக் குழுக்களைக் கண்கூடாகக் காட்டுகிறது மற்றும் ஒவ்வொரு எண்ணிற்கும் பொதுவான ஒரு குறிப்புத் தளத்தை வழங்குகிறது.
மக்களால் ஆபத்துக்களைப் பற்றிச் சிந்திக்க முடியாது என்ற சோம்பேறித்தனமான கூற்றுக்கு இது மிக ஆழமான ஒரு திருத்தமாகும். மனித நினைவாற்றலில் பல நிபந்தனைக்குட்பட்ட சதவீதங்களை ஒருங்கிணைக்கக் கட்டாயப்படுத்துவதை நாம் நிறுத்தும்போது, அவர்களால் மிகச் சிறப்பாகச் சிந்திக்க முடிகிறது.
எண்களை மாற்றியமைக்கும் ஒரு சிறிய வழிகாட்டி
வெவ்வேறு எண் சிக்கல்களுக்கு வெவ்வேறு வெளிப்பாட்டு வடிவங்கள் தேவைப்படுகின்றன.
அளவுகளுக்கு (For scale)
அசல் மொத்த மதிப்பை அப்படியே வையுங்கள்; அதனுடன் தனிநபர், ஆண்டு வாரியான அல்லது மக்களுக்குப் பழக்கமான அலகுகளைச் இணையுங்கள். திட்டங்களை ஒப்பிடும் போது, மூலப் பகுதியை ஒரே மாதிரியாக வைத்திருங்கள்.
வளர்ச்சிக்கு (For growth)
தொடக்க விகிதத்தையும் இறுதி கணிப்பையும் மட்டும் காட்டாமல், பல இடைப்பட்ட படிகளைக் காட்டுங்கள். இரட்டிப்பாகும் காலத்தைச் சேர்க்கவும். அந்தக் கணிப்பு உண்மையாக இருக்க என்னென்ன மாறாமல் இருக்க வேண்டும் என்பதைக் குறிப்பிடுங்கள்.
இடர்பாடுகளுக்கு (For risk)
ஒரே குறிப்புத் தளத்தைப் பயன்படுத்துங்கள்: “உங்களைப் போன்ற 1,000 பேரில்…” எத்தனை பேருக்கு அந்த நிலைமை உள்ளது, எத்தனை பேருக்குப் பரிசோதனை முடிவுகள் பாசிட்டிவ் ஆகின்றன, மற்றும் எத்தனை பாசிட்டிவ் முடிவுகள் உண்மையானவை என்பதைப் பிரித்துக் காட்டுங்கள்.
ஒப்பீட்டு விளைவுகளுக்கு (For relative effects)
சார்பு மாற்றத்தையும் முழுமையான மாற்றத்தையும் ஒன்றாக இணையுங்கள். “ஆபத்து 50 சதவீதம் குறைந்தது” என்பது 100-ல் 2 பேர் என்பது 1 ஆகக் குறைந்ததைக் குறிக்கலாம்; அல்லது பத்து லட்சத்தில் 2 பேர் என்பது 1 ஆகக் குறைந்ததையும் குறிக்கலாம்.
மக்கள் பணத்திற்கு (For public money)
மொத்தத் தொகை, சம்பந்தப்பட்ட பட்ஜெட்டில் அதன் பங்கு, கால அளவு மற்றும் பயன்பெறும் ஒருவருக்கான செலவு ஆகியவற்றைக் காட்டுங்கள். இதில் எதுவுமே தனித்து முழுமையானதாக இருக்க முடியாது.
இவை பகுப்பாய்விற்குப் பிறகு சேர்க்கப்படும் அலங்கார உவமைகள் அல்ல. அவை பகுப்பாய்வின் இன்றியமையாத பகுதியாகும்; ஏனெனில் இரண்டு அளவுகள் உண்மையில் ஒப்பிடக்கூடியவையா என்பதை அவையே வெளிப்படுத்துகின்றன.
நீங்கள் தேர்ந்தெடுக்கும் வடிவமே அறநெறிக் கேள்வியாகும்
ஒவ்வொரு வெளிப்பாட்டு வடிவமும் ஏதோ ஒன்றை முன்னிலைப்படுத்துகிறது.
ஒரு பிரம்மாண்டமான திட்டத்தின் மொத்தத் தொகையை மட்டுமே அறிவிக்கும் ஓர் அரசு வியப்பை உருவாக்குகிறது, ஆனால் ஒரு நபருக்கு அது போதுமானதா என்பதை மறைக்கிறது. இறப்புகளின் ஒட்டுமொத்த எண்ணிக்கையை மட்டுமே காட்டும் ஒரு பிரச்சாரம், மாறுபடும் விகிதத்தை மறைக்கக்கூடும். அடிப்படை அபாயத்தைக் குறிப்பிடாமல் ஒப்பீட்டு ஆபத்துக் குறைப்பை மட்டுமே காட்டும் ஒரு மருந்து விளம்பரம், ஒரு சிறிய நன்மையை மிகப் பெரியதாகக் காட்டுகிறது. மொத்தத் திருப்பிச் செலுத்தும் தொகையை மறைத்து மாதாந்திரத் தவணையை மட்டுமே முன்னிலைப்படுத்தும் கடன் நிறுவனம் காலச் சுருக்கத்தைப் பயன்படுத்திக் கொள்கிறது.
இதற்கான தீர்வு ஒரே ஒரு கட்டாய வடிவம் அல்ல. மூலத் தொகையும் மூலப் பகுதியும், விகிதமும் அதன் படிகளும், சார்பு மதிப்பும் முழுமையான மதிப்பும், குறியீடும் வாழ்ந்த அனுபவத்தின் அலகும் என ஜோடியாக இணைத்து வெளிப்படுத்துவதே தீர்வாகும்.
எண்கள் தமக்காகத் தாமே பேசுவதில்லை. அளவு, கட்டமைப்பு, மூலப் பகுதி மற்றும் கால இடைவெளி ஆகியவற்றின் தேர்வு வழியாகவே அவை நம்மை வந்தடைகின்றன. தொழில்நுட்ப ரீதியாகத் துல்லியமான ஒரு தேர்வு கூடப் புரிதலைத் தடுக்கும் நோக்கத்தோடு வடிவமைக்கப்பட முடியும்.
இந்த வாதத்தை எங்கே கவனமாக அணுக வேண்டும்?
பத்து லட்சம் நொடிகள் என்ற ஒப்பீடு நினைவில் நிற்கக்கூடியது; ஏனெனில் காலம் நமக்கு மிகவும் பழக்கமானது. ஆனால் அதற்காகக் காலம் என்பது எல்லாப் பிரச்சினைகளுக்கும் இயல்பான அலகு ஆகிவிடாது. ஒரு பொது பட்ஜெட்டை வினாடிகளாக மாற்றுவது நாடகத்தனமாக இருக்குமே தவிர, தெளிவை ஏற்படுத்தாது.
மேலும் இயல்பான நிகழ்வெண்கள் கூட அடிப்படை விகிதங்கள், பரிசோதனைத் தரம் அல்லது எந்த மக்கள் தொகை பொருத்தமானது என்பது குறித்த கருத்து வேறுபாடுகளைத் தீர்த்துவிடாது. அவை அனுமானங்களை வெளிப்படையாக்குகின்றனவே தவிர, அவற்றை உறுதிப்படுத்துவதில்லை.
சார்பு நிலைகள் ஒருபோதும் மனித விதியாகிவிடாது. கணிதவியலாளர்கள், கணக்காளர்கள், மருத்துவர்கள் மற்றும் நல்ல கருவிகளைப் பயன்படுத்தும் சாதாரண மக்கள் பெரிய அளவுகளையும் கூட்டு செயல்முறைகளையும் வழக்கமாகச் சரியாகவே மதிப்பிடுகிறார்கள். வெளிப்புற வெளிப்பாடு என்பது மனித அறிவாற்றலின் சாதனைகளில் ஒன்றாகும்; அது மனிதனின் பலவீனத்தை நிரூபிக்கும் ஊன்றுகோல் அல்ல.
எனவே, “மக்கள் எண்களில் பலவீனமானவர்கள்” என்பதை விட பயனுள்ள முடிவு மிகவும் கனிவானதும் அதே சமயம் பொறுப்பானதுமாகும்: மனிதர்கள் வடிவங்கள் வழியாகவே சிந்திக்கிறார்கள். ஓர் எண் முக்கியமானது என்றால், அதன் அளவு, வளர்ச்சி அல்லது மூலப் பகுதியைத் தெளிவாகக் காணக்கூடிய குறைந்தபட்சம் ஒரு வடிவத்திலாவது அதை முன்வையுங்கள்.
